Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面为直角梯形，∠BAD=90°，BC∥AD且AD=2，AB=BC=1，PA=λ（λ＞0）．
（Ⅰ）设M为PD的中点，求证：CM∥平面PAB；
（Ⅱ）若二面角B-PC-D的大小为150°，求此四棱锥的体积．

Answer 1

分析：解法一；（Ⅰ）M为PD的中点，要证CM∥平面PAB，取PA的中点N，只需证明直线CM平行平面PAB内的直线BN即可；
（Ⅱ）根据二面角B-PC-D的大小为150°，求出二面角的平面角，从而求得该四棱锥的高，代入体积公式即可求得结果；
解法二：以A为坐标原点，以AB、AD、AP所在直线为x、y、z轴建立如图所示的空间直角坐标系．写出相关点的坐标，（Ⅰ）求出平面平面PAB的一个法向量，利用

CM

•

m

=0，即可证得结论；
（Ⅱ）根据二面角B-PC-D的大小为150°，求出PA=λ，代入代入体积公式即可求得结果．

解答：解法一：（Ⅰ）证明：取PA的中点N，连接BN、NM，
在△PAD中，MN∥AD，且MN=

1

2

AD=1；
又BC∥AD，且BC=

1

2

AD=1，
所以MN

∥ =

BC，即四边形BCMN为平行四边形，CM∥BN．
又CM?平面PAB，BN?平面PAB，故CM∥平面PAB．…（5分）
（Ⅱ）如图，连接AC，则二面角B-PC-D的大小等于二面角B-PC-A的大小与二面角D-PC-A的大小的和．
由AC=CD=

2

， AD=2，知DC⊥AC，又DC⊥PA，所以DC⊥平面PAC，即平面PDC⊥平面PAC，
所以二面角D-PC-A的大小为90°．
于是二面角B-PC-A的大小为60°，
过B作BE⊥AC于E，过E作EF⊥PC于F，连接BF，
由PA⊥面ABC，BE?面ABC，∴PA⊥BE．
又BE⊥AC，AC∩AP=A，∴BE⊥面PAC．
又PC?面PAC，∴BE⊥PC．
∵EF⊥PC，EF∩BE=E，∴PC⊥面BEF，
∵BF?面BEF，∴BF⊥PC
即∠EFB为二面角B-PC-A的平面角．…（9分）
在Rt△ABC中，BE=

2

2

，又易知△PBC为Rt△，且BF=

PB•BC

PC

=

1+λ2

2+λ2

，
∴sin∠EFB=

2 2

1+λ2 2+λ2

=

2+λ2 2+2λ2

=

3

2

，解得λ=1．…（11分）
所以四棱锥P-ABCD的体积为V=

1

3

•

1

2

(1+2)×1×1=

1

2

．…（12分）
解法二：以A为坐标原点，以AB、AD、AP所在直线为x、y、z轴建立如图所示的空间直角坐标系．则B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，2，0），P（0，0，λ）．…（2分）
（I）由M为PD中点知M的坐标为（0，1，

λ

2

），所以

CM

=(-1，0，

λ

2

)．
又平面PAB的法向量可取为

m

=(0，1，0)，而

CM

•

m

=0，即

CM

⊥

m

．
又CM?平面PAB，所以CM∥平面PAB．…（6分）
（Ⅱ）设平面PBC的法向量为

a

=(x1，y1，z1)．
∵

PB

=(1，0，-λ)， 

PC

=(1，1，-λ)，
∴

PB • a =x1-λz1=0 PC • a =x1+y1-λz1=0

不妨取z₁=1，则x₁=λ，y₁=0，∴

a

=(λ，0，1)．
又设平面PCD的法向量为

b

=(x2，y2，z2)．
∵

PC

=(1，1，-λ)， 

PD

=(0，2，-λ)，∴
不妨取z₂=-2，则y₂=-λ，x₂=-λ，∴

b

=(-λ，-λ，-2)．…（9分）
由

a

， 

b

的方向可知cos150°=

a • b

| a || b |

=

-λ2-2

λ2+1 2λ2+4

=-

3

2

，解得λ=1．   …（11分）
所以四棱锥P-ABCD-体积为V=

1

5

•

1

2

(1+2)×1×1=

1

2

．                  …（12分）

点评：本题考查直线与平面平行的判定，和棱锥体积的求法，考查空间想象能力逻辑思维能力，是中档题．