Question

若（x-

a

x2

）⁶的展开式中常数项为10π，则直线x=0，x=a，x轴与曲线y=cosx围成的封闭图形的面积为（　　）

• A．2-

  3

  2

• B．

  3

  2

• C．

  3

  -1
• D．1

Answer 1

分析：利用二项式定理的通项公式可得a，再利用微积分基本定理即可得出所求面积．

解答：解：由（x-

a

x2

）⁶的展开式的通项公式Tr+1=

C

r 6

x6-r(-

a

x2

)r=(-

a

)r

C

r 6

x6-3r，
令6-3r=0，解得r=2．
∴常数项为(-

a

)2

C

2 6

=15a，又已知常数项为10π，
∴15a=10π，解得a=

2π

3

．
由直线x=0，x=a=

2π

3

，x轴与曲线y=cosx围成的封闭图形的面积S=

∫

π 2 0

cosxdx-

∫

2π 3 π 2

cosxdx=sinx

|

π 2 0

-sinx

|

2π 3 π 2

=1-(

3

2

-1)=2-

3

2

．
故选A．

点评：本题考查了二项式定理的通项公式、微积分基本定理等基础知识与基本方法．