Question

在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，若AB=AA₁=4，点D是AA₁的中点，则点A₁到平面DBC₁的距离是

1. A.
   
2. B.
   
3. C.
   
4. D.
   

Answer 1

A
分析：以AC为y轴，以AA₁为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，由正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，若AB=AA₁=4，点D是AA₁的中点，知=（），=（0，4，2），，设平面BDC₁的法向量为，由，，知，由此能求出点A₁到平面DBC₁的距离．
解答：解：以AC为y轴，以AA₁为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
∵正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，若AB=AA₁=4，点D是AA₁的中点，
∴B（2，2，0），C₁（0，4，4），D（0，0，2），A₁（0，0，4），
∴=（），=（0，4，2），，
设平面BDC₁的法向量为，
∵，，
∴，∴，
∴点A₁到平面DBC₁的距离d===．
故选A．
点评：本题考查空间中点、线、面间距离的计算，解题时要认真审题，合理地运用向量法进行求解，向量法求点到面的距离是向量的一个重要运用．