题目内容

如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1=AB,D是AC的中点.
(1)求证:B1C∥平面A1BD;
(2)求证:平面A1BD⊥平面ACC1A1
(3)求二面角A-A1B-D的余弦值.
分析:(1)利用线面平行的判定定理,证明线面平行,利用三角形中位线的性质,证明线线平行即可;
(2)证明面面垂直,只需证明线面垂直,利用线面垂直的判定证明线面垂直;
(3)法一:作出二面角A-A1B-D的平面角,利用余弦定理即可求解;
法二:建立空间直角坐标系,求出平面A1BD的法向量、平面AA1B的法向量,利用向量的夹角公式,即可求解.
解答:(1)证明:连AB1交A1B于点E,连DE,则E是AB1的中点,
∵D是AC的中点,∴DE∥B1C
∵DE?平面A1BD,B1C?平面A1BD,∴B1C∥平面A1BD;
(2)证明:∵ABC-A1B1C1是正三棱柱
∴AA1⊥平面ABC,∴AA1⊥BD,
∵AB=BC,D是AC的中点,∴AC⊥BD
∵AA1∩AC=A,∴BD⊥平面ACC1A1
∵BD?平面A1BD,∴平面A1BD⊥平面ACC1A1
 
(3)法一:设AA1=2a,∵AA1=AB,∴AE⊥BA1,且AE=
2
a

作AF⊥A1D,连EF
∵平面A1BD⊥平面ACC1A1,∴AF⊥平面A1BD,∴EF⊥BA1
∴∠AEF就是二面角A-A1B-D的平面角,
在△A1AD中,AF=
2
5
a

在△AEF中,EF=
AE2-AF2
=
2a2-
4
5
a2
=
6
5
a

cos∠AEF=
EF
AE
=
6
5
a
2
a
=
15
5
,即二面角A-A1B-D的余弦值是
15
5
.…(12分)
解法二:如图,建立空间直角坐标系,则D(0,0,0),B(0,
3
a,0)
,A(-a,0,0),A1(-a,0,2a)

AA1
=(0,0,2a)
AB
=(a,
3
a,0)
DA1
=(-a,0,2a)
DB
=(0,
3
a,0)

设平面A1BD的法向量是
m
=(x,y,z)
,则
m
DA1
=-x+2z=0
m
DB
=
3
y=0
,取
m
=(2,0,1)

设平面AA1B的法向量是
n
=(x,y,z)
,则
n
AB
=x+
3
y=0
n
AA1
=2z=0
,取
n
=(
3
,-1,0)

记二面角A-A1B-D的大小是θ,则|cosθ|=|
m
n
|
m
||
n
|
|=
2
3
2
5
=
15
5

即二面角A-A1B-D的余弦值是
15
5
.…(12分)
点评:本题考查线面平行,考查面面垂直,考查面面角,考查利用向量知识解决空间角问题,正确运用线面平行、面面垂直的判定定理是关键.
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