题目内容

如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，所有棱的长度都是1，M是BC边的中点，P是AA1边上的点，且PA=
6
4
．
（1）求：点P到棱BC的距离；
（2）问：在侧棱CC1上是否存在点N，使得异面直线AB1与MN所成角为45°？若存在，请说明点N的位置；若不存在，请说明理由；
（3）定义：如果平面α经过线段AA′的中点，并与线段AA′垂直，则称点A关于平面α的对称点为点A′．设点A关于平面PBC的对称点为A′，求：点A′到平面AMC1的距离．
分析：（1）以A为原点，以AB顺时针旋转30°得到的直线为x轴，以AC为y轴，以AA1为z轴，建立空间直角坐标系，则
BP
=(-
3
2
，-
1
2
，
6
4
)，
BC
=(-
3
2
，
1
2
，0)，由向量法能求出点P到棱BC的距离．
（2）设在侧棱CC1上是否存在点N（0，0，z），使得异面直线AB1与MN所成角为45°，由M是BC边的中点，知
NM
=(
3
4
，
3
4
，-z)，
AB1
=(
3
2
，
1
2
，1)，由异面直线AB1与MN所成角为45°，知cos45°=
3
8
+
3
8
-z
z2+
3
4
•
2
，解得z=-
1
8
，不合题意．故在侧棱CC1上是不存在点N．
（3）设平面PBC的平面方程为Ax+By+Cz+D=0，由P（0，0，
6
4
），C（0，1，0），B（
3
2
，
1
2
，0），知
6
4
C+D=0
B+D=0
3
2
A+
1
2
B+D=0
，故平面PBC的平面方程为x+
3
y+2
2
z-
3
=0，过点A（0，0，0）且垂直于平面PBC的直线方程是：
x
1
=
y
3
=
z
2
2
，令
x
1
=
y
3
=
z
2
2
=t，得到点A（0，0，0）且垂直于平面PBC的直线与平面的交点是（
3
12
，
1
4
，
6
6
），从而得到A′(
3
6
，
1
2
，
6
3
)．由此能求出点A′到平面AMC1的距离．
解答：解：（1）以A为原点，以AB顺时针旋转30°得到的直线为x轴，
以AC为y轴，以AA1为z轴，建立空间直角坐标系，
∵在正三棱柱ABC-A1B1C1中，所有棱的长度都是1，
P是AA1边上的点，且PA=
6
4
．
∴P（0，0，
6
4
），C（0，1，0），B（
3
2
，
1
2
，0），
∴
BP
=(-
3
2
，-
1
2
，
6
4
)，
BC
=(-
3
2
，
1
2
，0)，
∴点P到棱BC的距离d=|
BP
|•
1-(cos＜
BP
，
BC
＞)2

=
22
4
•
1-(
2
22
)2

=
3
2
4
．
（2）设在侧棱CC1上是否存在点N（0，0，z），使得异面直线AB1与MN所成角为45°，
∵M是BC边的中点，
∴M（
3
4
，
3
4
，0），A（0，0，0），B1(
3
2
，
1
2
，1)，
∴
NM
=(
3
4
，
3
4
，-z)，
AB1
=(
3
2
，
1
2
，1)，
∵异面直线AB1与MN所成角为45°，
∴cos45°=
3
8
+
3
8
-z
z2+
3
4
•
2
，
整理，得
3
4
-z
z2+
3
4
=1，
解得z=-
1
8
，不合题意．
∴在侧棱CC1上是不存在点N．
（3）∵P（0，0，
6
4
），C（0，1，0），B（
3
2
，
1
2
，0），
设平面PBC的平面方程为Ax+By+Cz+D=0，
则
6
4
C+D=0
B+D=0
3
2
A+
1
2
B+D=0
，
∴C=-
2
6
3
D，B=-D，A=-
3
3
D，
∴平面PBC的平面方程为-
3
3
Dx-Dy-
2
6
3
Dz+D=0，
即x+
3
y+2
2
z-
3
=0，
过点A（0，0，0）且垂直于平面PBC的直线方程是：
x
1
=
y
3
=
z
2
2
，
令
x
1
=
y
3
=
z
2
2
=t，
则x=t，y=
3
t，z=2
2
t，
代入平面方程x+
3
y+2
2
z-
3
=0，
得t+3t+8t-
3
=0，
解得t=
3
12
，
∴过点A（0，0，0）且垂直于平面PBC的直线与平面的交点是（
3
12
，
1
4
，
6
6
），
∴设点A关于平面PBC的对称点A′（x，y，z），
则x=2×
3
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=
3
6
，y=2×
1
4
=
1
2
，z=2×
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精英家教网如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=1，若二面角C-AB-C1的大小为60°，则点C到平面C1AB的距离为（　　）
A、
3
4
B、
1
2
C、
3
2
D、1
如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，已知AB=1，D在棱BB1上，且BD=1，若AD与平面AA1CC1所成的角为a，则sina=
 
．
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．
（Ⅰ）求BC1与侧面ACC1A1所成角的大小；
（Ⅱ）求二面角C1-BM-C的正切值；
（Ⅲ）证明MN⊥BC1．
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