Question

15．已知m、n∈N^*，求证：$\sqrt{mn（m+2）（n+2）}$-$\sqrt{mn（mn+2）}$≥3-$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 会发现，m=n=1时，要证的不等式的等号成立，从而可考虑用函数的单调性来证明：先根据基本不等式，$（m+2）（n+2）=mn+2（m+n）+4≥mn+4\sqrt{mn}+4$，从而得到$\sqrt{（m+2）（n+2）}-\sqrt{mn+2}$$≥\sqrt{mn+4\sqrt{mn}+4}-\sqrt{mn+2}$，这样可令$\sqrt{mn}=t$，t≥1．从而可以得到$\sqrt{mn+4\sqrt{mn}+4}-\sqrt{mn+2}=t+2-\sqrt{{t}^{2}+2}$，可设$f（t）=t+2-\sqrt{{t}^{2}+2}$，然后可通过求导数，判断出函数f（t）在[1，+∞）上单调递增，这样便可得出f（t）$≥3-\sqrt{3}$，这样便可得出要证明的不等式成立．

解答 解：（m+2）（n+2）=mn+2（m+n）+4≥mn$+4\sqrt{mn}+4$，m=n时取“=”；
∴$\sqrt{（m+2）（n+2）}-\sqrt{mn+2}$$≥\sqrt{mn+4\sqrt{mn}+4}-\sqrt{mn+2}$，令$\sqrt{mn}=t$，t≥1；
∴$\sqrt{mm+4\sqrt{mn}+4}-\sqrt{mn+2}$=$\sqrt{mn}+2-\sqrt{mn+2}=t+2-\sqrt{{t}^{2}+2}$，设$f（t）=t+2-\sqrt{{t}^{2}+2}，t≥1$；
∴$f′（t）=1-\frac{t}{\sqrt{{t}^{2}+2}}$；
$t＜\sqrt{{t}^{2}+2}$；
∴$\frac{t}{\sqrt{{t}^{2}+2}}＜1$；
∴f′（t）＞0；
∴f（t）在[1，+∞）上单调递增；
∴$f（t）≥f（1）=3-\sqrt{3}$；
∴$\sqrt{mn+4\sqrt{mn}+4}-\sqrt{mn+2}≥3-\sqrt{3}$，m=n=1时取“=”；
∴$\sqrt{（m+2）（n+2）}-\sqrt{mn+2}≥3-\sqrt{3}$，m=n=1时取“=”；
∴$\sqrt{mn（m+2）（n+2）}-\sqrt{mn（mn+2）}$$≥（3-\sqrt{3}）mn≥3-\sqrt{3}$，当m=n=1时取“=”；
即$\sqrt{mn（m+2）（n+2）}-\sqrt{mn（mn+2）}≥3-\sqrt{3}$．

点评 考查构造函数解决问题的方法，基本不等式的应用，根据导数符号判断函数单调性的方法，以及函数单调性定义的运用，不等式的性质．