Question

在直角坐标系中，已知A（3，0），B（0，3），C（cosθ，sinθ）．
（1）若θ锐角，且sinθ=，求•；（2）若⊥，求sin2θ．

Answer 1

【答案】分析：（1）由θ为锐角及sinθ的值，利用同角三角函数间的基本关系求出cosθ的值，确定出C的坐标，再由A和B的坐标表示出向量和，利用平面向量的数量积运算法则即可求出•的值；
（2）由A，B及C的坐标分别表示出和，由⊥，得到两向量的数量积为0，故利用平面向量的数量积运算法则表示出•，让其值等于0，整理后两边平方，利用同角三角函数间的基本关系及二倍角的正弦函数公式化简，即可求出sin2θ的值．
解答：解：（1）∵θ锐角，且sinθ=，
∴cosθ==，…（1分），
∴C（，），又A（3，0），B（0，3），
∴=（，-），=（-，），…（3分）
则•=×（-）+（-）×=-；…（6分）
（2）∵A（3，0），B（0，3），C（cosθ，sinθ），
∴=（3-cosθ，-sinθ），=（-cosθ，3-sinθ），…（7分）
由⊥，得•=（3-cosθ）×（-cosθ）+（-sinθ）×（3-sinθ）=0，…（8分）
即3sinθ+3cosθ-1=0，整理得：sinθ+cosθ=，…（9分）
两边平方，得sin²θ+2sinθcosθ+cos²θ=，…（10分）
即1+sin2θ=，
则sin2θ=-．…（12分）
点评：此题考查了二倍角的正弦函数公式，同角三角函数间的基本关系，平面向量的数量积运算法则，以及数量积判断两向量的垂直关系，熟练掌握公式及法则是解本题的关键．