题目内容
13．（1）证明三倍角的余弦公式：cos3θ=4cos3θ-3cosθ；（2）利用等式sin36°=cos54°，求sin18°的值．
分析 （1）将cos3θ化简为cos（2θ+θ），利用两角和差的公式和二倍角公式化简即可证得．
（2）利用二倍角公式化简，和同角三角关系式，转化为二次函数即可求sin18°的值．
解答 解：（1）cos3θ=cos（2θ+θ）=cos2θcosθ-sin2θsinθ=（2cos2θ-1）cosθ-2sin2θcosθ=2cos3θ-cosθ-2（1-cos2θ）cosθ=4cos3θ-3cosθ．
（2）sin36°=cos54°，
∵sin36°=2sin18°cos18°
∵cos54°=4cos318°-3cosθ．
∴2sin18°=4cos218°-3．
则sin18°=2cos218°-$\frac{3}{2}$．
2（1-sin218°）-sin18°-$\frac{3}{2}$=0，
令sin18°=t，（t＞0）
则有：2-2t2-t-$\frac{3}{2}$=0，
解得：t=$\frac{\sqrt{5}-1}{4}$，
即sin18°的值为：$\frac{\sqrt{5}-1}{4}$．
点评 本题考察了二倍角公式的运用能力和化简计算能力．
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如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O为底面中心，A1O⊥平面ABCD，AB=AA1=$\sqrt{2}$．
4．已知O为△ABC的外心，AB=3，AC=4，$\overrightarrow{AO}$=x$\overrightarrow{AB}$+y$\overrightarrow{AC}$，且2x+y=1（x，y≠0），则cos∠BAC=（ ）
| A． | $\frac{3}{8}$ | B． | $\frac{3}{4}$ | C． | $\frac{2}{3}$ | D． | $\frac{1}{2}$ |
如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点．则二面角B-DE-C的平面角的余弦值是$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
5．已知函数f（x）=x+$\frac{1}{x}$，下列结论正确的是（ ）
| A． | x=-1是f（x）的极小值点 | B． | x=1是f（x）的极大值点 | ||
| C． | （1，+∞）是f（x）的单调增区间 | D． | （-1，1）是f（x）的单调增区间 |
2．函数f（x）=x2-2lnx的单调递减区间为（ ）
| A． | （0，1） | B． | （-1，1） | C． | （0，+∞） | D． | （1，+∞） |