Question

18．如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点．则二面角B-DE-C的平面角的余弦值是$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角B-DE-C的平面角的余弦值．

解答 解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DP为z轴，建立空间直角坐标系，
设PD=DC=2，则B（2，2，0），
D（0，0，0），
C（0，2，0），P（0，0，2），
E（0，1，1），
$\overrightarrow{DB}$=（2，2，0），$\overrightarrow{DE}$=（0，1，1），
设平面BDE的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DB}=2x+2y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DE}=y+z=0}\end{array}\right.$，取x=1，
得$\overrightarrow{n}$=（1，-1，1），
平面DEC的法向量$\overrightarrow{m}$=（0，0，1），
设二面角B-DE-C的平面角为θ，
则cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$．
∴二面角B-DE-C的平面角的余弦值是$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
故答案为：$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$．

点评 本题考查二面角的余弦值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．