Question

16．已知，焦点在x轴上的椭圆的上下顶点分别为B₂、B₁，经过点B₂的直线l与以椭圆的中心为顶点、以B₂为焦点的抛物线交于A、B两点，直线l与椭圆交于B₂、C两点，且|$\overrightarrow{A{B_2}}$|=2|$\overrightarrow{B{B_2}}$|．直线l₁过点B₁且垂直于y轴，线段AB的中点M到直线l₁的距离为$\frac{9}{4}$．设$\overrightarrow{CB}$=λ$\overrightarrow{B{B_2}}$，则实数λ的取值范围是（　　）

• A． （0，3）
• B． （-$\frac{1}{2}$，2）
• C． （-$\frac{2}{3}$，4）
• D． （-$\frac{5}{9}$，3）

Answer 1

分析 根据抛物线的性质求得丨AB丨=2×$\frac{9}{4}$=$\frac{9}{2}$，丨BB₂丨=$\frac{1}{3}$丨AB丨=$\frac{3}{2}$，丨AB₂丨=$\frac{2}{3}$丨AB丨=3，丨BB₂丨=2，即可求得b的值，将直线方程代入抛物线方程，由韦达定理及抛物线的焦点弦公式，即可求得m的值，求得直线方程，代入椭圆方程，利用韦达定理及向量的坐标运算，求得λ的表达式，由a的取值范围，即可求得实数λ的取值范围．

解答 解：如图，由题意可知：设椭圆的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞b＞0），
线段AB的中点M到直线l₁的距离为$\frac{9}{4}$，
∴由抛物线的定义可知：丨AB丨=2×$\frac{9}{4}$=$\frac{9}{2}$，
由|$\overrightarrow{A{B_2}}$|=2|$\overrightarrow{B{B_2}}$|，
∴丨BB₂丨=$\frac{1}{3}$丨AB丨=$\frac{3}{2}$，丨AB₂丨=$\frac{2}{3}$丨AB丨=3，
由三角形的相似关系求得丨BB₂丨=2，
∴2b=2，b=1，．抛物线方程为x²=4y，
设直线AB的方程为：x=m（y-1），
由$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}=4y}\\{x=m（x-1）}\end{array}\right.$，代入整理得：m²y²-2（m²+2）y+m²=0，
由韦达定理可知：y_A+y_B=$\frac{2（{m}^{2}+2）}{{m}^{2}}$，
由抛物线的焦点弦公式可知：丨AB丨=y_A+y_B+p=$\frac{2（{m}^{2}+2）}{{m}^{2}}$+2=$\frac{9}{2}$，
解得：m=±2$\sqrt{2}$，
∴直线AB的方程为：x=±2$\sqrt{2}$（y-1），
∴$\left\{\begin{array}{l}{x=±2\sqrt{2}（y-1）}\\{\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，整理得：（8+a²）y²-16y+8-a²=0，
由韦达定理可知：y_C+${y}_{{B}_{2}}$=$\frac{16}{8+{a}^{2}}$，
∴y_C=$\frac{16}{8+{a}^{2}}$-1=$\frac{8-{a}^{2}}{8+{a}^{2}}$，
$\overrightarrow{CB}$=λ$\overrightarrow{B{B_2}}$，y_B-y_C=λ（${y}_{{B}_{2}}$-y_B），
由抛物线的性质可知：y_B=丨BB₂丨-b，${y}_{{B}_{2}}$=b，
∴$\frac{1}{2}$-y_C=$\frac{1}{2}$λ，整理得：λ=$\frac{3{a}^{2}-8}{8+{a}^{2}}$=3-$\frac{32}{{a}^{2}+8}$，
由a²＞b²=1，
∴-$\frac{5}{9}$＜λ＜3，
∴实数λ的取值范围（-$\frac{5}{9}$，3），
故选D．

点评 本题考查椭圆及抛物线的标准方程及简单几何性质，直线与椭圆和抛物线的位置关系，抛物线的焦点弦公式，考查韦达定理，向量的坐标运算，考查计算能力，属于难题．