Question

10．已知点P（x₀，y₀）为椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$上一点，F₁，F₂分别为椭圆C的左右焦点，当y₀=$\frac{b}{2}$时，∠F₁PF₂=60°，则椭圆C的离心率为（　　）

• A． $\frac{{2\sqrt{7}}}{7}$
• B． $\frac{{\sqrt{7}}}{7}$
• C． $\frac{1}{2}$
• D． $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$

Answer 1

分析 由P在椭圆上求出P的横坐标，利用焦半径公式及余弦定理得到关于a，c的方程，求解可得椭圆的离心率．

解答 解：由P（x₀，y₀）在椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$上，且y₀=$\frac{b}{2}$，可得${{x}_{0}}^{2}=\frac{3}{4}{a}^{2}$，
不妨取${x}_{0}=\frac{\sqrt{3}}{2}a$，
则$|P{F}_{1}|=a+e{x}_{0}=a+\frac{\sqrt{3}}{2}c$，$|P{F}_{2}|=a-e{x}_{0}=a-\frac{\sqrt{3}}{2}c$．
在△F₁PF₂中，则$4{c}^{2}=（a+\frac{\sqrt{3}}{2}c）^{2}+（a-\frac{\sqrt{3}}{2}c）^{2}-2（{a}^{2}-\frac{3}{4}{c}^{2}）•cos60°$，
即$4{c}^{2}={a}^{2}+\sqrt{3}ac+\frac{3}{4}{c}^{2}+{a}^{2}-\sqrt{3}ac+\frac{3}{4}{c}^{2}$$-{a}^{2}+\frac{3}{4}{c}^{2}$．
∴$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}=\frac{4}{7}$，则$e=\frac{c}{a}=\frac{2\sqrt{7}}{7}$．
故选：A．

点评 本题考查椭圆的简单性质，考查了椭圆焦半径公式的应用，考查利用余弦定理求解焦点三角形问题，属中档题．