Question

【题目】如图，四边形是边长为的正方形， 平面， ，且， ．

（I）求证： 平面．

（II）求与平面所成角的正弦值．

（III）为直线上一点，且平面平面，求的值．

Answer 1

【答案】（I）见解析；（II）.

【解析】试题分析：（Ⅰ）通过证明平面与平面平行的判定定理证明平面AMD∥平面BCN，然后证明AM∥平面BCN；
（Ⅱ）以D为原点，DA，DC，DM所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，求出平面MNC的法向量以及直线AN向量，然后求AN与平面MNC所成角的正弦值；
（Ⅲ）设E（x，y，z），，得到点的坐标为，通过平面平面，只要， 即可.

试题解析：

（I）证明：∵是正方形，

∴，

∵平面， 平面，

∴平面，

∵，

∵平面， 平面，

∴平面，

∵， 平面， 平面，

∴平面平面，

∵平面，

∴平面．

（也可建立直角坐标系，证明垂直平面的法向量，酌情给分）

（II）∵平面， 是正方形，

所以，可选点为原点， ， ， 所在直线分别为， ， 轴，建立空间直角坐标系（如图），

则， ， ， ，

∴， ， ，

设平面的法向量，

则，令，则，

设与平面所成角为，

∴．

（III）设， ，

∴，

又∵， ，

∴点的坐标为．

∵面，

∴，欲使平面平面，只要，

∵， ，

∵，

∴．

∴，

所以．