题目内容
【题目】已知：集合
，其中
．
，称
为
的第
个坐标分量．若
，且满足如下两条性质：
①
中元素个数不少于
个．
②
，
，
，存在
，使得，，
的第
个坐标分量都是
．则称为
的一个好子集．
（）若
为
的一个好子集，且
，
，写出，
．
（
）若为的一个好子集，求证：中元素个数不超过
．
（
）若为的一个好子集且中恰好有个元素，求证：一定存在唯一一个
，使得中所有元素的第
个坐标分量都是．
【答案】(1) 
，
．
(2) 证明见解析.
(3)证明见解析.
【解析】分析：（1）根据好子集的定义直接写出Z，W；
（2）若S为
的一个好子集，考虑元素
，进行判断证明即可；
（3）根据好子集的定义，证明存在性和唯一性即可得到结论.
详解：（
）
，
．
（
）对于
，考虑元素；
显然
，
，
，
，对于任意的
，
，
，
不可能都为，
可得
，不可能都是好子集
中．
又因为取定，则一定存在且唯一，而且
，
由
的定义知道，，
,
这样，集合中元素的个数一定小于或等于集合中元素个数的一半，而集合中元素的个数为
，所以中元素个数不超过
．
（
）
，
，定义元素，的乘积为
，显然
．
我们证明“对任意的
，
都有
．”
假设存在，
使得
，则由（）知，
．
此时，对于任意的
，
，
，
不可能同时为，矛盾，所以．
因为中只有个元素，我们记
为中所有元素的成绩，根据上面的结论，我们知道
，
显然这个元素的坐标分量不能都为
，不妨设
，
根据
的定义，可以知道中所有元素的
坐标分量都为．
下面再证明的唯一性：
若还有
，即中所有元素的
坐标分量都为．
所以此时集合中元素个数至多为
个，矛盾．
所以结论成立．
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