Question

15．S_n是数列{a_n}前n项和，对?n∈N^*，S_n+a_n=2n．
（1）求a₁，a₂，a₃，a₄；
（2）归纳数列{a_n}的通项公式，并用数学归纳法证明．

Answer 1

分析 （1）把n=1，2，3，4依次代入条件式子计算；
（2）根据（1）的计算结果猜想通项公式，验证n=1猜想成立，假设n=k猜想成立，推导n=k+1猜想成立即可．

解答 解：（1）当n=1时，a₁+a₁=2，∴a₁=1，
当n=2时，a₁+a₂+a₂=4，∴a₂=$\frac{3}{2}$，
当n=3时，a₁+a₂+a₃+a₃=6，∴a₃=$\frac{7}{4}$，
当n=4时，a₁+a₂+a₃+a₄+a₄=8，∴a₄=$\frac{15}{8}$．
（2）猜想a_n=$\frac{{2}^{n}-1}{{2}^{n-1}}$．
显然n=1时，$\frac{{2}^{n}-1}{{2}^{n-1}}$=1，猜想成立，
假设n=k（k≥1）时，猜想成立，即a_k=$\frac{{2}^{k}-1}{{2}^{k-1}}$，
∵S_k+a_k=2k，S_k+1+a_k+1=2k+2，
两式相减得：2a_k+1-a_k=2，
a_k+1=$\frac{{a}_{k}+2}{2}$=$\frac{{2}^{k+1}-1}{{2}^{k}}$．
∴当n=k+1时，猜想成立．
综上，对于任意n∈N⁺，都有a_n=$\frac{{2}^{n}-1}{{2}^{n-1}}$．

点评 本题考查了数学归纳法证明，属于基础题．