题目内容

（本题满分18分，其中第1小题6分，第2小题4分，第3小题8分）

定义变换：可把平面直角坐标系上的点变换到这一平面上的点.特别地，若曲线上一点经变换公式变换后得到的点与点重合，则称点是曲线在变换下的不动点.

（1）若椭圆的中心为坐标原点，焦点在轴上，且焦距为，长轴顶点和短轴顶点间的距离为2. 求该椭圆的标准方程. 并求出当时，其两个焦点、经变换公式变换后得到的点和的坐标；

（2）当时，求（1）中的椭圆在变换下的所有不动点的坐标；

（3）试探究：中心为坐标原点、对称轴为坐标轴的双曲线在变换

：（，）下的不动点的存在情况和个数.

 

【答案】

（1）（2）（3）两个

【解析】（1）设椭圆的标准方程为（），由椭圆定义知焦距，即…①.

又由条件得…②，故由①、②可解得，.

即椭圆的标准方程为.

且椭圆两个焦点的坐标分别为和.

对于变换：，当时，可得

设和分别是由和的坐标由变换公式变换得到.于是，，即的坐标为；

又即的坐标为.

（2）设是椭圆在变换下的不动点，则当时，[来源:Z§xx§k.Com]

有，由点，即，得：

，因而椭圆的不动点共有两个，分别为和.

(3) 设是双曲线在变换下的不动点，则由

因为，，故.

不妨设双曲线方程为（），由代入得

则有,

因为，故当时，方程无解；

当时，要使不动点存在，则需，

因为，故当时，双曲线在变换下一定有2个不动点，否则不存在不动点.

进一步分类可知：

（i）当，时，即双曲线的焦点在轴上时，

；

此时双曲线在变换下一定有2个不动点；

（ii）当，时，即双曲线的焦点在轴上时，

.[来源:]

此时双曲线在变换下一定有2个不动点.

 

练习册系列答案
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（本题满分18分，其中第1小题6分，第2小题4分，第3小题8分）

现有变换公式：可把平面直角坐标系上的一点变换到这一平面上的一点.

（1）若椭圆的中心为坐标原点，焦点在轴上，且焦距为，长轴顶点和短轴顶点间的距离为2. 求该椭圆的标准方程，并求出其两个焦点、经变换公式变换后得到的点和的坐标；

（2） 若曲线上一点经变换公式变换后得到的点与点重合，则称点是曲线在变换下的不动点. 求（1）中的椭圆在变换下的所有不动点的坐标；

（3） 在（2）的基础上，试探究：中心为坐标原点、对称轴为坐标轴的椭圆和双曲线在变换下的不动点的存在情况和个数.

(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分8分，第3小题满分7分．
已知抛物线（且为常数），为其焦点．
（1）写出焦点的坐标；
（2）过点的直线与抛物线相交于两点，且，求直线的斜率；
（3）若线段是过抛物线焦点的两条动弦，且满足，如图所示．求四边形面积的最小值．

（本题满分18分）已知抛物线C的顶点在原点,焦点在y轴正半轴上,点到其准线的距离等于5．

（Ⅰ）求抛物线C的方程;

（Ⅱ）如图,过抛物线C的焦点的直线从左到右依次与抛物线C及圆交于A、C、D、B四点,试证明为定值;

（Ⅲ）过A、B分别作抛物C的切线且交于点M,求与面积之和的最小值．

 

(本题满分18分，其中第1小题4分，第2小题6分，第,3小题8分)

一青蛙从点开始依次水平向右和竖直向上跳动，其落点坐标依次是，(如图所示，坐标以已知条件为准)，表示青蛙从点到点所经过的路程。

(1) 若点为抛物线准线上

一点，点，均在该抛物线上，并且直线经

过该抛物线的焦点，证明.

(2)若点要么落在所表示的曲线上，

要么落在所表示的曲线上，并且,

试写出（不需证明）；

(3)若点要么落在所表示的曲线上，要么落在所表示的曲线上，并且，求的表达式.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

（本题满分18分，其中第1小题6分，第2小题4分，第3小题8分）

现有变换公式：可把平面直角坐标系上的一点变换到这一平面上的一点.

（1）若椭圆的中心为坐标原点，焦点在轴上，且焦距为，长轴顶点和短轴顶点间的距离为2. 求该椭圆的标准方程，并求出其两个焦点、经变换公式变换后得到的点和的坐标；

（2） 若曲线上一点经变换公式变换后得到的点与点重合，则称点是曲线在变换下的不动点. 求（1）中的椭圆在变换下的所有不动点的坐标；

（3） 在（2）的基础上，试探究：中心为坐标原点、对称轴为坐标轴的椭圆和双曲线在变换下的不动点的存在情况和个数.

 

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