题目内容
(本题满分18分)已知抛物线C的顶点在原点,焦点在y轴正半轴上,点到其准线的距离等于5.
(Ⅰ)求抛物线C的方程;
(Ⅱ)如图,过抛物线C的焦点的直线从左到右依次与抛物线C及圆交于A、C、D、B四点,试证明为定值;
(Ⅲ)过A、B分别作抛物C的切线且交于点M,求与面积之和的最小值.
【答案】
解: (Ⅰ)设抛物线方程为,由题意得:
,, 所以抛物线C的方程为…4分
(Ⅱ) 解法一:抛物线焦点与的圆心重合即为E(0,1),
设过抛物线焦点的直线方程为,,
,,得到,…2分
由抛物线的定义可知,,
.即为定值1….3分
(Ⅲ),所以,
所以切线AM的方程为,切线BM的方程为,
解得即……2分
所以点M到直线AB的距离为.
设
….2分
令,所以,,
所以在上是增函数,当,即时,,即与面积之和的最小值为2…3分
(Ⅱ)解法二:设过抛物线焦点的直线方程为,,不妨设.
,,得到,.2分
,,
,即为定值….3分
(Ⅲ),所以,所以切线AM的方程为,
切线BM的方程为,解得即……….3分
所以点M到直线AB的距离为.
设
…3分
令,所以,,
所以在上是增函数,当,即时,,即与面积之和的最小值为2
【解析】略
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