Question

4．椭圆$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{16}$=1的左、右焦点分别为F₁，F₂，弦AB过F₁，若△ABF₂的内切圆面积为π，A，B两点的坐标分别为（x₁，y₁）和（x₂，y₂），则|y₂-y₁|的值为（　　）

• A． $\frac{5}{3}$
• B． $\frac{20}{3}$
• C． $\frac{\sqrt{5}}{3}$
• D． $\frac{10}{3}$

Answer 1

分析 由已知△ABF₂内切圆半径r=1．，从而求出△ABF₂，再由ABF₂面积=$\frac{1}{2}$|y₁-y₂|×2c，能求出|y₁-y₂|．

解答 解：∵椭圆$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{16}$=1的左右焦点分别为F₁，F₂，
过焦点F₁的直线交椭圆于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）两点，
△ABF₂的内切圆的面积为π，
∴△ABF₂内切圆半径r=1．
△ABF₂面积S=$\frac{1}{2}$×1×（AB+AF₂+BF₂）=2a=10，
∴ABF₂面积=$\frac{1}{2}$|y₁-y₂|×2c=$\frac{1}{2}$|y₁-y₂|×2×3=10，
∴|y₁-y₂|=$\frac{10}{3}$．
故选：D．

点评 本题考查椭圆的简单性质，考查数学转化思想方法，是中档题．