Question

5．在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程$\left\{\begin{array}{l}x=1+cosφ\\ y=sinφ\end{array}\right.（φ$为参数），以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．
（1）求圆C的极坐标方程；
（2）直线l的极坐标方程是$ρ（sinθ+\sqrt{3}cosθ）=3\sqrt{3}$，射线$OM：θ={θ_1}（0＜{θ_1}＜\frac{π}{2}）$与圆C的交点为O，P，与直线l的交点为Q，求|OP|•|OQ|的范围．

Answer 1

分析 （1）圆C的参数方程消去参数φ，能求出圆C的普通方程，再由x=ρcosθ，y=ρsinθ，能求出圆C的极坐标方程．
（2）设P（ρ₁，θ₁），则有ρ₁=cosθ₁，Q（ρ₂，θ₁），则${ρ_2}=\frac{{3\sqrt{3}}}{{sin{θ_1}+\sqrt{3}cos{θ_1}}}$，|OP|•|OQ|=ρ₁ρ₂，结合tanθ₁＞0，能求出|OP|•|OQ|的范围．

解答 解：（1）∵圆C的参数方程$\left\{\begin{array}{l}x=1+cosφ\\ y=sinφ\end{array}\right.（φ$为参数），
∴消去参数φ，得圆C的普通方程是（x-1）²+y²=1，
又x=ρcosθ，y=ρsinθ，
∴圆C的极坐标方程是ρ=2cosθ．
（2）设P（ρ₁，θ₁），则有ρ₁=2cosθ₁，Q（ρ₂，θ₁），
则有${ρ_2}=\frac{{3\sqrt{3}}}{{sin{θ_1}+\sqrt{3}cos{θ_1}}}$，
∴$|{OP}||{OQ}|={ρ_1}•{ρ_2}=\frac{{6\sqrt{3}cos{θ_1}}}{{sin{θ_1}+\sqrt{3}cos{θ_1}}}=\frac{{6\sqrt{3}}}{{\sqrt{3}+tan{θ_1}}}（0＜{θ_1}＜\frac{π}{2}）$，
∵tanθ₁＞0，∴0＜|OP||OQ|＜6．
故|OP|•|OQ|的范围是（0，6）．

点评 本题考查圆的极坐标方程的求法，考查两线段的乘积的取值范围的求法，考查直角坐标方程、极坐标方程、参数方程的互化等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．