题目内容

设f（x）=2^x-2^-x．若当 $数学公式$ 时， $数学公式$ 恒成立，则实数m的取值范围是

A.
（-∞，-2）
B.
（-∞，-2]∪[1，+∞）
C.
（-2，1）
D.
（-∞，-2）∪（1，+∞）

D
分析：先判断f（x）的奇偶性、单调性，利用函数的性质把不等式中的符号“f”去掉，转化为具体不等式，进而把恒成立问题转化为函数最值解决即可．
解答：因为f（x）的定义域为R，且f（-x）=2^-x-2^x=-（2^x-2^-x）=-f（x），
所以f（x）为奇函数；
又易知f（x）=2^x-2^-x为增函数，
所以 $\text{[math]}$ 可化为f（ $\text{[math]}$ ）＞-f（m²-3）=f（3-m²），
也即m- $\text{[math]}$ ＞3-m²，即 $\text{[math]}$ 在当 $\text{[math]}$ 时恒成立，
当 $\text{[math]}$ 时，cosθ∈[0，1）， $\text{[math]}$ ≤-1，
所以m²+m-3＞-1，解得m＜-2或m＞1，即实数m的取值范围为（-∞，-2）∪（1，+∞）．
故选D．
点评：本题考查函数的奇偶性、单调性及其应用，考查函数恒成立问题，考查学生分析问题解决问题的能力．