下列结论正确的是( )A．若数列{an}的前n项和为Sn.Sn=n2+n+1.则{an}为的等差数列B．若数列{an}的前n项和为Sn.Sn=2n-2.则{an}为等比数列C．非零实数a.b.c不全相等.若a.b.c成等差数列.则$\frac{1}{a}$.$\frac{1}{b}$.$\frac{1}{c}$可能构成等差数列D．非零实数a.b.c不全相等.若a.b.c成� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

8．下列结论正确的是（　　）

	A．	若数列{a_n}的前n项和为S_n，S_n=n²+n+1，则{a_n}为的等差数列
	B．	若数列{a_n}的前n项和为S_n，S_n=2ⁿ-2，则{a_n}为等比数列
	C．	非零实数a，b，c不全相等，若a，b，c成等差数列，则$\frac{1}{a}$，$\frac{1}{b}$，$\frac{1}{c}$可能构成等差数列
	D．	非零实数a，b，c不全相等，若a，b，c成等比数列，则$\frac{1}{a}$，$\frac{1}{b}$，$\frac{1}{c}$一定构成等比数列

分析在A中，由${a}_{n}=\left\{\begin{array}{l}{{S}_{1}，n=1}\\{{S}_{n}-{S}_{n-1}，n≥2}\end{array}\right.$，得到{a_n}不为的等差数列；在B中，由a₁=S₁=2-2=0，得到{a_n}不为等比数列；在C中，若$\frac{1}{a}$，$\frac{1}{b}$，$\frac{1}{c}$构成等差数列，能推导出a=c，与非零实数a，b，c不全相等矛盾，从而$\frac{1}{a}$，$\frac{1}{b}$，$\frac{1}{c}$不可能构成等差数列；在在D中，若a，b，c成等比数列，则$\frac{1}{{b}^{2}}=\frac{1}{ac}$=$\frac{1}{a}×\frac{1}{c}$，$\frac{1}{a}$，$\frac{1}{b}$，$\frac{1}{c}$一定成等比数列．

解答解：在A中，∵数列{a_n}的前n项和为S_n，S_n=n²+n+1，
∴a₁=S₁=1+1+1=3，
a_n=S_n-S_n-1=（n²+n+1）-[（n-1）²+（n-1）+1]=2n，
n=1时，a_n=2≠a₁，故{a_n}不为的等差数列，故A错误；
在B中，∵数列{a_n}的前n项和为S_n，S_n=2ⁿ-2，
∴a₁=S₁=2-2=0，
∴{a_n}不为等比数列，故B错误；
在C中，若$\frac{1}{a}$，$\frac{1}{b}$，$\frac{1}{c}$构成等差数列，则$\frac{2}{b}=\frac{1}{a}+\frac{1}{c}$=$\frac{a+c}{ac}$=$\frac{2b}{ac}$，
∴b²=ac，∴ac=（$\frac{a+c}{2}$）²=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}+2ac}{4}$，∴a=c，继而a=c=b，与非零实数a，b，c不全相等矛盾，
∴$\frac{1}{a}$，$\frac{1}{b}$，$\frac{1}{c}$不可能构成等差数列，故C错误；
在D中，∵非零实数a，b，c不全相等，a，b，c成等比数列，
∴b²=ac，∴$\frac{1}{{b}^{2}}=\frac{1}{ac}$=$\frac{1}{a}×\frac{1}{c}$，
∴$\frac{1}{a}$，$\frac{1}{b}$，$\frac{1}{c}$一定成等比数列，故D正确．
故选：D．