Question

18．（文科做）在等差数列{a_n}中，已知a₁=13，a₂=10
（1）求{a_n}的通项公式；  
（2）设b_n=$\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）利用已知及等差数列的性质可求d=-3，根据等差{a_n}的通项公式即可得解．
（2）由裂项法可得${b_n}=\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}=\frac{1}{（16-3n）（13-3n）}=\frac{1}{3}（\frac{1}{13-3n}-\frac{1}{16-3n}）$，可求T_n=$\frac{1}{3}[（\frac{1}{10}-\frac{1}{13}）+（\frac{1}{7}-\frac{1}{10}）+（\frac{1}{4}-\frac{1}{7}）+…+（\frac{1}{13-3n}-\frac{1}{16-3n}）]$，即可求解．

解答 解：（1）∵a₁=13，a₂=10，a₂为整数，∴d=-3，
∴{a_n}的通项公式为a_n=16-3n． …7分
（2）∵${b_n}=\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}=\frac{1}{（16-3n）（13-3n）}=\frac{1}{3}（\frac{1}{13-3n}-\frac{1}{16-3n}）$，…9分
∴T_n=b₁+b₂+…+b_n
=$\frac{1}{3}[（\frac{1}{10}-\frac{1}{13}）+（\frac{1}{7}-\frac{1}{10}）+（\frac{1}{4}-\frac{1}{7}）+…+（\frac{1}{13-3n}-\frac{1}{16-3n}）]$，
=$\frac{1}{3}（\frac{1}{13-3n}-\frac{1}{13}）=\frac{n}{13（13-3n）}$，…12分

点评 本题主要考查了等差数列的性质，用裂项法求数列的和，属于基本知识的考查．