题目内容

已知O为坐标原点，
OA
=（2cos2x+a，2sinx），
OB
=（1，
3
cosx）（x∈R，a∈R，a是常数），设f（x）=
OA
•
OB

（1）求函数式f（x）关系式；
（2）已知函数f（x）在区间[0，
π
2
]上的最小值为-1，求a的值及函数f（x）的单调减区间．
考点：两角和与差的正弦函数,平面向量数量积的运算,正弦函数的单调性
专题：三角函数的求值,三角函数的图像与性质,平面向量及应用
分析：（1）由平面向量数量积的运算，两角和与差的正弦函数公式即可求得f（x）=1+a+2sin（2x+
π
6
）．
（2）由x∈[0，
π
2
]，可得2x+
π
6
∈[
π
6
，
7π
6
]，从而可求f（x）min=-1=f（
7π
6
）=a，即可解得a的值，令2kπ+
π
2
≤2x+
π
6
≤2kπ+
3π
2
，k∈Z可解得函数f（x）的单调减区间．
解答： 解：（1）f（x）=
OA
•
OB
=2cos2x+a+2
3
sinxcosx=1+a+cos2x+
3
sin2x=1+a+2sin（2x+
π
6
）．
（2）∵x∈[0，
π
2
]，
∴2x+
π
6
∈[
π
6
，
7π
6
]
∴f（x）min=-1=f（
7π
6
）=a
∴a=-1
∵令2kπ+
π
2
≤2x+
π
6
≤2kπ+
3π
2
，k∈Z可解得kπ+
π
6
≤x≤kπ+
2π
3
，k∈Z
∴函数f（x）的单调减区间是[kπ+
π
6
，kπ+
2π
3
]，k∈Z．
点评：本题主要考查了平面向量数量积的运算，两角和与差的正弦函数公式的应用，正弦函数的单调性，属于基本知识的考查．
练习册系列答案
相关题目
已知x∈R，向量
a
=(sin2x ， cosx)，
b
=(1 ， 2cosx)，f（x）=
a
•
b
．
（1）求f（x）的单调递增区间；
（2）若α是第二象限角，f(
α
2
)=
4
2
5
cos(α+
π
4
)cos2α+1，求cosα-sinα的值．
“a＞b＞0”是“a2＞b2”成立的（　　）条件．
A、必要不充分
B、充分不必要
C、充要
D、既不充分也不必要
在平面直角坐标系xOy内作单位圆O，以Ox为始边作角α、β，它们的终边与单位圆O的交点为A，B，则
OA
=
 
，
OB
=
 
，∠AOB=
 
．
由向量数量积的定义有
OA
•
OB
=
 
由向量数量积的坐标表示有
OA
•
OB
=
 
=
 
．
于是，cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ．
R表示实数集，集合M={x∈R|0＜log3x＜1}，N={x∈R||2x-3|＜1}，则（　　）
A、M∩N=N
B、M∪N=N
C、（∁RN）∩M=φ
D、（∁RM）∩N=φ
已知i是虚数单位，m和n都是实数，且m（1+i）=7+ni，则
m+ni
m-ni
（　　）
A、-1B、1C、-iD、i
关于函数y=2x2-2x-3有以下4个结论：①定义域为（-∞，-1）∪（3，+∞）②递增区间为[1，+∞），③是非奇非偶函数④值域是（
1
16
，+∞）．则正确的结论是
 
．（填序号即可）
若函数f（x）=
1
3
x3-4x+4．
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）若对x∈[0，3]，都有f（x）＜c恒成立，求实数c的取值范围；
（3）若关于x的方程f（x）=m有三个解，求实数m的取值范围．
已知函数f（x）=3
2
sin
x
4
cos
x
4
-3
2
cos2
x
4
+
3
2
2
．
（1）用五点法作出函数在一个周期的图象；
（2）若x∈[
5π
6
，
11π
6
]，求f（x）的值域；
（3）说明此函数可由y=sinx的图象经过怎样的变换得到．

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