Question

13．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=1，a_n+1=2S_n+1 （n∈N^*），等差数列{b_n}中，b_n＞0 （n∈N^*），且b₁+b₂+b₃=15，又a₁+b₁、a₂+b₂、a₃+b₃成等比数列．则数列{a_n•b_n}的前n项和T_n为（　　）

• A． 3^n-1
• B． 2n+1
• C． n•3ⁿ
• D． -2n•3ⁿ

Answer 1

分析 推导出a_n+1=3a_n，（n∈N^*，n＞1），从而求出数列{a_n}是以1为首项，3为公比的等比数列，进而${a}_{n}={3}^{n-1}$，n∈N^*，在等差数列{b_n}中，求出b₂=5，d=2，从而b_n=2n+1，n∈N^*，由此得到 a_n•b_n=3^n-1•（2n+1），从而利用错位相减法能求出数列{a_n•b_n}的前n项和．

解答 解：∵${a}_{1}=1，{a}_{n+1}=2{S}_{n}+1，（n∈{N}^{*}）$，
∴${a}_{n}=2{S}_{n-1}+1，（n∈{N}^{*}，n＞1）$，
∴a_n+1-a_n=2（S_n-S_n-1），
∴a_n+1-a_n=2a_n，
∴a_n+1=3a_n，（n∈N^*，n＞1），
而a₂=2a₁+1=3=3a₁，
∴a_n+1=3a_n（n∈N^*），
∴数列{a_n}是以1为首项，3为公比的等比数列，
∴${a}_{n}={3}^{n-1}$，n∈N^*，
在等差数列{b_n}中，∵b₁+b₂+b₃=15，∴b₂=5，
又∵a₁+b₁、a₂+b₂、a₃+b₃成等比数列，
设等差数列{b_n}的公差为d，
∴（1+5-d）（9+5+d）=64，解得d=-10或d=2，
∵b_n＞0（n∈N*），
∴舍去d=-10，取d=2，∴b₁=3，
∴b_n=2n+1，n∈N^*，
∴a_n•b_n=3^n-1•（2n+1），
∴数列{a_n•b_n}的前n项和：
T_n=3×3⁰+5×3+7×3²+…（2n+1）×3^n-1，①
3T_n=3×3+5×3²+7×3³+…+（2n+1）×3ⁿ，②
①-②，得：-2T_n=3+2（3+3²+3³+…+3^n-1）-（2n+1）×3ⁿ
=3+2×$\frac{3（1-{3}^{n-1}）}{1-3}$-（2n+1）×3ⁿ
=-2n×3ⁿ，
∴T_n=n•3ⁿ．
故选：C．

点评 本题考查数列的前n项和的求法，考查等差数列、等比数列通项公式、错位相减法等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．