Question

15．已知函数f（x）=ln（ax+1）+$\frac{1-x}{1+x}$，x＞0，其中a＞0．
（1）若f（x）在x=1处取得极值，求a的值；
（2）求f（x）的单调区间．

Answer 1

分析 （1）求导函数，由f（x）在x=1处取得极值，f′（1）=0，解得即可．
（2）求导函数，由于分母恒正，故由分子的正负，确定函数的单调区间

解答 解：（1）求导函数，可得，f′（x）=$\frac{a}{ax+1}$-$\frac{2}{（1+x）^{2}}$=$\frac{a{x}^{2}+a-2}{（ax+1）（1+x）^{2}}$
∵f（x）在x=1处取得极值，
∴f′（1）=0，即a+a-2=0，解得a=1，
（2）f′（x）=$\frac{a{x}^{2}+a-2}{（ax+1）（1+x）^{2}}$，
∵x≥0，a＞0，
∴ax+1＞0，
①当a≥2时，在区间（0，+∞）上，f'（x）＞0，∴f（x）的单调增区间为（0，+∞）．
②当0＜a＜2时，由f'（x）＞0解得x＞$\sqrt{\frac{2-a}{a}}$，由f'（x）＜0解得x＜$\sqrt{\frac{2-a}{a}}$
∴f（x）的单调递减区间为（0，$\sqrt{\frac{2-a}{a}}$），单调增区间为（$\sqrt{\frac{2-a}{a}}$，+∞）

点评 本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与最值，考查分类讨论的数学思想，合理分类是关键．