题目内容
7．已知平面直角坐标系中，直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=4+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t是参数），以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C：ρ=2cosθ．（1）求曲线C的直角坐标系方程和直线l的普通方程；
（2）直线l和x轴交于点A，点B是曲线C上的动点，求AB的中点D到直线l的距离的最大值．
分析 （1）直接结合曲线的参数方程和普通方程的互化公式进行处理，然后，根据极坐标方程和直角坐标方程的互化公式进行处理；
（2）可以借助于圆的参数方程，并结合三角函数的值域进行处理即可．
解答 解：（1）由直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=4+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t是参数），得
x-y=4，
故该直线的普通方程为：x-y-4=0，
根据曲线C：ρ=2cosθ．得
ρ2=2ρcosθ，
∴x2+y2=2x，
∴（x-1）2+y2=1，
曲线C的直角坐标系方程（x-1）2+y2=1．
（2）∵直线l和x轴交于点A，
∴A（4，0）．设点B（1+cosθ，sinθ），
∴D（$\frac{5+cosθ}{2}$，$\frac{1}{2}$sinθ），
∴d=$\frac{\sqrt{2}}{2}•|\frac{5+cosθ}{2}-\frac{1}{2}sinθ-4|$
=$\frac{\sqrt{2}}{2}$•|$\frac{3}{2}$+$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（θ-$\frac{π}{4}$）|，
∴d的最大值为：$\frac{3\sqrt{2}}{4}$+$\frac{1}{2}$．
点评 本题重点考查了参数方程和普通方程、极坐标方程和直角坐标方程的互化进行求解，考查了三角函数的值域问题，等知识，属于综合题目，难度中等．
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| A． | l?a | B． | l∥a | C． | l与a相交 | D． | 以上都有可能 |