Question

17．已知曲线C₁的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=1+\frac{1}{2}t\\ y=\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\end{array}\right.{\;}_{\;}^{\;}$（t为参数），曲线C₂的参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}x=cosθ\\ y=sinθ\end{array}$（θ为参数）．
（1）若C₁与C₂相交于A、B两点，求|AB|；
（2）若把曲线C₂上各点的横坐标扩大到原来的2倍，纵坐标保持不变，得到曲线C₃，设点P是曲线C₃上的一个动点，求它到曲线C₁的距离的最大值．

Answer 1

分析 （1）将$\left\{\begin{array}{l}x=1+\frac{1}{2}t\\ y=\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\end{array}\right.$代入x²+y²=1得t²+t=0，利用参数的意义求|AB|；
（2）求出曲线C₃，利用参数方程，点到直线的距离公式，即可求它到曲线C₁的距离的最大值．

解答 解：（1）将$\left\{\begin{array}{l}x=1+\frac{1}{2}t\\ y=\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\end{array}\right.$代入x²+y²=1得t²+t=0，∴|AB|=|t₁-t₂|=1
（2）C₁：y=$\sqrt{3}$（x-1），C₂：x²+y²=1；C₃：$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1，
因此设$P（2cosα，sinα）⇒d=\frac{{|{2\sqrt{3}cosα-sinα-\sqrt{3}}|}}{2}=\frac{{|{\sqrt{13}sin（α+β）-\sqrt{3}}|}}{2}$
因此${d_{max}}=\frac{{\sqrt{13}+\sqrt{3}}}{2}$．

点评 本题考查参数方程的运用，考查参数的运用，考查点到直线距离公式的运用，属于中档题．