Question

设数列{a_n}满足：a₁=1，且当n∈N^*时，a_n³+a_n²（1-a_n+1）+1=a_n+1．
（1）比较a_n与a_n+1的大小，并证明你的结论．
（2）若bn=（1-

a 2 n

a 2 n+1

）

1

an

，其中n∈N^*，证明0＜

n

k-1

bk＜2．

Answer 1

分析：（1）由于an3+an2(1-an+1)+1=an+1，则an+1=

an3+an2+1

1+an2

，所以an+1-an= 

an3+an2+1

1+an2

-an=

(an- 1 2 )2 + 3 4

1+an2

＞0，由此能够证明a_n+1＞a_n．
（2）由于bn=(1-

an2

an+12

)

1

an

，由a_n+1＞a_n，知1-

an2

an+12

＞0，而a_n+1＞a_n＞…＞a₁=1＞0，故b_n＞0，由此入手能够证明0＜

n

k=1

bk＜2．

解答：解：（1）由于an3+an2(1-an+1)+1=an+1，
则an+1=

an3+an2+1

1+an2

，…（1分）
∴an+1-an= 

an3+an2+1

1+an2

-an
=

an2-an+1

1+an2

=

(an- 1 2 )2 + 3 4

1+an2

＞0，
∴a_n+1＞a_n．…（4分）
（2）由于bn=(1-

an2

an+12

)

1

an

，
由（1）a_n+1＞a_n，则

an2

an+12

＜1，即1-

an2

an+12

＞0，
而a_n+1＞a_n＞…＞a₁=1＞0，
故b_n＞0，
∴

n

k=1

bk=b1+b2+…+bn＞0．…（6分）
又 bn=(1-

an2

an+12

)

1

an

=

an+12-an2

anan+12

=

(an+1+an)(an+1-an)

anan+12

＜

2an+1(an+1-an)

anan+12

=

2(an+1-an)

anan+1

=2（

1

an

-

1

an+1

），…（8分）
∴

n

k=1

bk＜2[(

1

a1

-

1

a2

)+(

1

a2

-

1

a3

)+…+(

1

an

-

1

an+1

)]
=2(

1

a1

-

1

an+1

)．…（10分）
又a_n+1＞a_n，且a₁=1，
故a_n+1＞0，
∴

n

k=1

bk ＜

2

a1

=2．
从而0＜

n

k=1

bk＜2．…（12分）

点评：本题考查数列与不等式的综合应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．