Question

若常数k＞0，对于任意非负实数a，b，都有a²+b²+kab≥c（a+b）² 恒成立，求最大的常数c．

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：计算题,分类讨论,不等式的解法及应用

分析：讨论若a=b=0，则不等式显然成立；若a=0，b≠0或b=0，a≠0，则有c≤1，则c的最大值为1；若a，b均大于0，则运用参数分离，讨论k=2，k＞2.0＜k＜2三种情况，运用基本不等式，即可求得右边的最值，进而判断c的最大值．

解答： 解：若a=b=0，则不等式显然成立；
若a=0，b≠0或b=0，a≠0，则有c≤1，则c的最大值为1；
若a，b均大于0，则原不等式即为
c≤

a2+b2+kab

(a+b)2

=1+

k-2

a b + b a +2

，
若k=2，则c≤1，c的最大值为1；
若k＞2，则1+

k-2

a b + b a +2

≤1+

k-2

2+2

=

k+2

4

，则原不等式不恒成立；
若0＜k＜2，则1+

k-2

a b + b a +2

≥1+

k-2

2+2

=

k+2

4

，即有c≤

k+2

4

，c的最大值为

k+2

4

．
综上可得，最大的常数c为1．

点评：本题考查不等式的恒成立问题，考查分类讨论的思想方法，及基本不等式的运用：求最值，属于中档题和易错题．