Question

4．已知某班n名同学的数学测试成绩（单位：分，满分100分）的频率分布直方图如图所示，其中a，b，c成等差数列，且成绩在[90，100]内的有6人．
（1）求n的值；
（2）若成绩在[40，50）内的人数是成绩在[50，60）内的人数的$\frac{1}{3}$，规定60分以下为不及格，从不及格的人中任意选取3人，求成绩在50分以下的人数X的分布列和数学期望．

Answer 1

分析 （1）由频率分布直方图和等差数列的性质求出b=0.01，再由成绩在[90，100]内的有6人，能求出n．
（2）求出a=0.005，c=0.015，从而得到不及格的人数为18人，其中成绩在50分以下的人数为3人，从不及格的人中任意选取3人，成绩在50分以下的人数X的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望．

解答 解：（1）由频率分布直方图，得：
$\left\{\begin{array}{l}{2b=a+c}\\{（a+2b+c+0.025+0.035）×10=1}\end{array}\right.$，
解得b=0.01，
∵成绩在[90，100]内的有6人，∴$\frac{6}{n}=0.1$，解得n=60．
（2）∵成绩在[40，50）内的人数是成绩在[50，60）内的人数的$\frac{1}{3}$，
∴a=0.005，c=0.015，
∴规定60分以下为不及格，则不及格的人数为（0.005+0.01+0.015）×10×60=18，
其中成绩在50分以下的人数为0.05×10×60=3人，
∴从不及格的人中任意选取3人，成绩在50分以下的人数X的可能取值为0，1，2，3，
P（X=0）=$\frac{{C}_{15}^{3}}{{C}_{18}^{3}}$=$\frac{455}{816}$，
P（X=1）=$\frac{{C}_{3}^{1}{C}_{15}^{2}}{{C}_{18}^{3}}$=$\frac{315}{816}$，
P（X=2）=$\frac{{C}_{3}^{2}{C}_{15}^{1}}{{C}_{18}^{3}}$=$\frac{45}{816}$，
P（X=3）=$\frac{{C}_{3}^{3}}{{C}_{18}^{3}}$=$\frac{1}{816}$，
∴X的分布列为：

X	0	1	2	3
P	$\frac{455}{816}$	$\frac{315}{816}$	$\frac{45}{816}$	$\frac{1}{816}$

EX=$0×\frac{455}{816}+1×\frac{315}{816}+2×\frac{45}{815}+3×\frac{1}{816}$=$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用．