Question

【题目】在平面直角坐标系内，动点到定点的距离与到定直线距离之比为．

（Ⅰ）求动点的轨迹的方程；

（Ⅱ）设点是轨迹上两个动点直线与轨迹的另一交点分别为且直线的斜率之积等于，问四边形的面积是否为定值？请说明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）四边形的面积为定值12.

【解析】

（Ⅰ）设，依题意可得，化简即可得解；

（Ⅱ）设，，由，得，由点、在椭圆上，得，由此利用点到直线的距离公式、椭圆的对称性，结合已知条件能求出四边形的面积为定值．

解：（Ⅰ）设，依题意，，

化简得，所以，动点的轨迹的方程为．

（Ⅱ）设，，则由斜率之积，得，

，因为点、在椭圆上，

所以，．化简得．

直线的方程为，原点到直线的距离为．

所以，的面积，

根据椭圆的对称性，四边形的面积，

所以，，

所以

所以，四边形的面积为定值12．