Question

【题目】已知函数

（1）求函数的单调区间和的极值；

（2）对于任意的，，都有，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】(1)见解析；(2)

【解析】

（1）对f（x）求导，再求导，得到二次导数恒大于0，又，得到及的x的范围，即可得到函数的单调区间及极值.

（2）由题意，只需，结合（1）可得最小值为，比较与得到最大值，可求得结论.

（1）∵，，其中是的导函数.

显然，，因此单调递增，

而，所以在上为负数，在上为正数，

因此在上单调递减，在上单调递增,

当时，取得极小值为f(0)=1，无极大值.

∴的极小值为1,无极大值.单增区间为，单减区间为.

（2）依题意，只需

由（1）知，在上递减，在上递增，

∴在上的最小值为；

最大值为和中的较大者

而 ，

因此，

∴在上的最大值为

所以，，解得或.

∴实数的取值范围是：.