Question

【题目】已知椭圆的中心为原点，左焦点为，离心率为，不与坐标轴垂直的直线与椭圆交于两点.

（1）若为线段的中点，求直线的方程.

（2）求点是直线上一点，点在椭圆上，且满足，设直线与直线的斜率分别为，问：是否为定值？若是，请求出的值；若不是，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）的值是定值，且值为

【解析】

（1）设椭圆的半焦距为，根据求得椭圆的方程，再根据为线段的中点，利用点差法求解。

（2）根据（1）求得直线，点的坐标，设点，，根据，得间的关系，再计算.

（1）设椭圆的半焦距为，由题意可得，解得.

故椭圆的方程为.

设，.易知，

由于点，都在椭圆上，所以，

所以.

因为为线段的中点，

所以.

故直线的方程为，即.

（2）由（1）可知，直线，点.

设点，，

易知.因为，

所以，得.

因为点在椭圆上，所以，即.

所以，

所以的值是定值，且值为.