Question

如图，等腰直角三角形ABC的斜边AB在轴上，原点O为AB的中点，，D是OC的中点．以A、B为焦点的椭圆E经过点D．
（1）求椭圆E的方程；
（2）过点C的直线与椭圆E相交于不同的两点M、N，点M在点C、N之间，且，求的取值范围．

Answer 1

（1椭圆E的方程为．（2）．

（1）在等腰直角三角形ABC中，因为斜边，
所以．所以椭圆的半焦距．
因为D是OC的中点，所以椭圆的短半轴长，
所以椭圆的长半轴长． 
所以椭圆E的方程为．
(2)设，，则， ．
由，得．所以 ①
因为点，都在椭圆上，所以②　将①代入②得，
消去，得．
所以．根据题意，得，所以．
解得．③ 
因为点M在点C、N两点之间，，所以，④ 
根据③、④，得。