Question

试说明函数f(x)=(1+x)³在区间［0,0.1］上各点的函数值，可以近似地用一次函数g(x)=1+3x在相应区间上各点的函数值来表示，其绝对误差小于0.1.

Answer 1

思路分析：要理解绝对误差的概念：差的绝对值，这里即证明差的绝对值小于0.1.

解：|f(x)-g(x)|=|(1+x)³-(1+3x)|

=|1+3x+3x²+x³-1-3x|

=|x³+3x²|.

∵x∈［0,0.1］，

∴|f(x)-g(x)|=x³+3x².

设h(x)=x³+3x²，x₁,x₂∈［0,0.1］,x₁＜x₂,

则有h(x₁)-h(x₂)=(x₁³+3x₁²)-(x₂³+3x₂²)

=(x₁³-x₂³)+(3x₁²-3x₂²)

=(x₁-x₂)(x₁²+x₁x₂+x₂²+3x₁+3x₂).

∵x₁,x₂∈［0,0.1］,x₁＜x₂,∴x₁-x₂＜0,x₁²+x₁x₂+x₂²+3x₁+3x₂＞0.

∴h(x₁)＜h(x₂).

∴当x∈［0,0.1］时，h(x)=x³+3x²是增函数.

则有h(x)≤h(0.1)=(0.1)³+3×(0.1)²=0.031＜0.1.

∴当x∈［0,0.1］时，|f(x)-g(x)|＜0.1.

∴函数f(x)=(1+x)³在区间［0,0.1］上各点的函数值，可以近似地用一次函数g(x)=1+3x在相应区间上各点的函数值来表示.