Question

试说明函数f(x)＝(1＋x)³在区间[0，0.1]上各点的函数值，可以近似地用一次函数g(x)＝1＋3x在相应区间上各点的函数值来表示，其绝对误差小于0.1．

Answer 1

答案：
解析：

解：|f(x)－g(x)|＝|(1＋x)3－(1＋3x)| 　　＝|1＋3x＋3x2＋x3－1－3x| 　　＝|x3＋3x2|． 　　∵x∈[0，0.1]， 　　∴|f(x)－g(x)|＝x3＋3x2． 　　设h(x)＝x3＋3x2，x1，x2∈[0，0.1]，x1＜x2， 　　则有h(x1)－h(x2)＝(x13＋3x12)－(x23＋3x22) 　　＝(x13－x23)＋(3x12－3x22) 　　＝(x1－x2)(x12＋x1x2＋x22＋3x1＋3x2)． 　　∵x1，x2∈[0，0.1]，x1＜x2，∴x1－x2＜0，x12＋x1x2＋x22＋3x1＋3x2＞0． 　　∴h(x1)＜h(x2)． 　　∴当x∈[0，0.1]时，h(x)＝x3＋3x2是增函数． 　　则有h(x)≤h(0.1)＝(0.1)3＋3×(0.1)2＝0.031＜0.1． 　　∴当x∈[0，0.1]时，|f(x)－g(x)|＜0.1． 　　∴函数f(x)＝(1＋x)3在区间[0，0.1]上各点的函数值，可以近似地用一次函数g(x)＝1＋3x在相应区间上各点的函数值来表示．

提示：

要理解绝对误差的概念：差的绝对值，这里即证明差的绝对值小于0.1．