Question

已知点N（1，2），过点N的直线交双曲线x²-=1于A、B两点，且=（+）.
（1）求直线AB的方程；
（2）若过N的直线交双曲线于C、D两点，且·=0，那么A、B、C、D四点是否共圆？为什么？

Answer 1

（1）直线AB的方程为y=x+1（2）A、B、C、D四点共圆

（1）由题意知直线AB的斜率存在.
设直线AB：y=k（x-1）+2，代入x²-=1
得(2-k²)x²-2k(2-k)x-(2-k)²-2="0.                                   " (*)
令A（x₁,y₁）,B(x₂,y₂),则x₁、x₂是方程（*）的两根，
∴2-k²≠0且x₁+x₂=.
∵=（+），∴N是AB的中点，∴=1,
∴k（2-k）=-k²+2,k=1,
∴直线AB的方程为y=x+1.
（2）将k=1代入方程（*）得x²-2x-3=0,
解得x=-1或x=3,
∴不妨设A（-1，0），B（3，4）.
∵·=0，∴CD垂直平分AB，
∴CD所在直线方程为y=-(x-1)+2,
即y=3-x,代入双曲线方程整理得x²+6x-11=0,
令C（x₃,y₃）,D(x₄,y₄)及CD中点M（x₀,y₀）
则x₃+x₄=-6,x₃·x₄=-11,
∴x₀==-3，y₀=6，即M(-3,6).
|CD|=|x₃-x₄|==4；
|MC|=|MD|=|CD|=2，
|MA|=|MB|=2，
即A、B、C、D到M距离相等，∴A、B、C、D四点共圆.