Question

【题目】已知函数 ，
（1）若 ，求函数 处的切线方程
（2）设函数 ，求 的单调区间.
（3）若存在 ，使得 成立，求 的取值范围。

Answer 1

【答案】
（1）

当a=1时，f（x）=x-lnx，

∴f（e）=e-1， （x）= ，

∴ （e）= ，

∴f（x）在x=e处的切线方程为（e-1）x-ey=0.

（2）

h（x）=x+ ，∴ （x）= ，

① 当a+1＞0时，即a＞-1时，在（0，1+a）上 （x）＜0，在（1+a，+ ）上 （x）＞0，

所以h（x）在（0，1+a）上单调递减，在（1+a，+ ）上单调递增；

② 当1+a≤0，即a≤-1时，在（0，+ ）上 （x）＞0，

所以，函数h（x）在（0，+ ）上单调递增.

（3）

在[1，e]上存在一点 ，使得f（ ）＜g（ ）成立，即在[1，e]上存在一点 ，使得h（ ）＜0，

即函数h（x）= x+ 在[1，e]上的最小值小于零.

由（2）可知：①1+a≥e，即a≥e-1时，h（x）在[1，e]上单调递增，所以h（x）的最小值为h（e），由h（e）=e+ -a＜0可得a＞ ，

因为 ＞e-1，∴a＞ ；②当1+a≤1，即a≤0时，h（x）在[1，e]上单调递增，所以h（x）最小值为h（1），由h（1）=1+1+a＜0可得a＜-2；③当1＜1+a＜e，即0＜a＜e-1时，可得h（x）最小值为h（1+a）.

因为0＜ln（1+a）＜1，

所以，0＜aln（1+a）＜a，

故h（1+a）=2+a-aln（1+a）＞2

此时，h（1+a）＜0不成立。

综上讨论可得所求a的范围是：a＞ 或a＜-2.

【解析】（1）根据a的值确定确定f（x）和 f ′ （x），进而确定在f（x）在x=e处的切线方程；（2）根据f（x）、g（x）表示出h（x），然后求出h（x）的导函数 h ′ （x），通过导函数来判断h（x）的单调区间；（3）对题目中的已知条件进行转换，在[1，e]存在 x 0 使得 f ( x 0 ) < g ( x 0 ) ，等价于在[1，e]上存在一点 x 0 ，使得h（ x 0 ）＜0，即函数h（x）= x+ -aln x 在[1，e]上的最小值小于零。由于不确定a的取值，无法判定h（x）在[1，e]上的单调性，所以这里要根据a的取值范围来分三种情况进行讨论。
【考点精析】本题主要考查了函数的单调性的相关知识点，需要掌握注意：函数的单调性是函数的局部性质；函数的单调性还有单调不增，和单调不减两种才能正确解答此题．