如果定义在R上的函数f(x).对任意的x∈R.都有f.则称该函数是“β函数．(Ⅰ) 分别判断下列函数:①y=2x,②y=2x+1, ③y=x2-2x-3.是否为“β函数 ?=sinx+cosx+a是“β函数 .求实数a的取值范围,=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+1.x∈A}\\{x.x∈B}\end{array}\right.$是“β� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

1．如果定义在R上的函数f（x），对任意的x∈R，都有f（-x）≠-f（x），则称该函数是“β函数”．
（Ⅰ）分别判断下列函数：①y=2^x；②y=2x+1； ③y=x²-2x-3，是否为“β函数”？（直接写出结论）
（Ⅱ）若函数f（x）=sinx+cosx+a是“β函数”，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）已知f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+1，x∈A}\\{x，x∈B}\end{array}\right.$是“β函数”，且在R上单调递增，求所有可能的集合A与B．

分析（Ⅰ）根据“β函数”的定义判定．①、②是“β 函数”，③不是“β函数”；
（Ⅱ）由题意，对任意的x∈R，f（-x）+f（x）≠0，故f（-x）+f（x）=2cosx+2a
由题意，对任意的x∈R，2cosx+2a≠0，即a≠-cosx即可得实数a的取值范围
（Ⅲ）（1）对任意的x≠0
分（a）若x∈A且-x∈A，（b）若x∈B且-x∈B，验证
（2）假设存在x₀＜0，使得x₀∈A，则由x₀＜$\frac{{x}_{0}}{2}$，故f（x₀）＜f（$\frac{{x}_{0}}{2}$）．
（a）若$\frac{{x}_{0}}{2}∈A$，则f（$\frac{{x}_{0}}{2}$）=$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{4}+1＜{{x}_{0}}^{2}+1=f（{x}_{0}）$，矛盾，
（b）若$\frac{{x}_{0}}{2}∈B$，则f（$\frac{{x}_{0}}{2}$）=$\frac{{x}_{0}}{2}＜0＜{{x}_{0}}^{2}+1=f（{x}_{0}）$，矛盾．
（3）假设0∈B，则f（-0）=-f（0）=0，矛盾．故0∈A，故A=[0，+∞），B=（-∞，0）．

解答解：（Ⅰ）①、②是“β 函数”，③不是“β函数”．…（3分）
（Ⅱ）由题意，对任意的x∈R，f（-x）≠-f（x），即f（-x）+f（x）≠0，．
因为f（x）=sinx+cosx+a，所以f（-x）=-sinx+cosx+a．
故f（-x）+f（x）=2cosx+2a
由题意，对任意的x∈R，2cosx+2a≠0，即a≠-cosx．…（6分）
故实数a的取值范围为（-∞，-1）∪（1，+∞）．…（8分）
（Ⅲ）（1）对任意的x≠0
（a）若x∈A且-x∈A，则-x≠x，f（-x）=f（x），这与y=f（x）在R上单调递增矛盾，（舍），
（b）若x∈B且-x∈B，则f-（x）=-x=-f（x），这与y=f（x）是“β函数”矛盾，（舍）．
此时，由y=f（x）的定义域为R，故对任意的x≠0，x与-x恰有一个属于A，另一个属于B．
（2）假设存在x₀＜0，使得x₀∈A，则由x₀＜$\frac{{x}_{0}}{2}$，故f（x₀）＜f（$\frac{{x}_{0}}{2}$）．
（a）若$\frac{{x}_{0}}{2}∈A$，则f（$\frac{{x}_{0}}{2}$）=$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{4}+1＜{{x}_{0}}^{2}+1=f（{x}_{0}）$，矛盾，
（b）若$\frac{{x}_{0}}{2}∈B$，则f（$\frac{{x}_{0}}{2}$）=$\frac{{x}_{0}}{2}＜0＜{{x}_{0}}^{2}+1=f（{x}_{0}）$，矛盾．
综上，对任意的x＜0，x∉A，故x∈B，即（-∞，0）⊆B，则（0，+∞）⊆A．
（3）假设0∈B，则f（-0）=-f（0）=0，矛盾．故0∈A
故A=[0，+∞），B=（-∞，0）．
经检验A=[0，+∞），B=（-∞，0）．符合题意 …（13分）