Question

设函数f（x）=mx²-（4+m²）x，其中m∈R，且m＞0，区间D={x|f（x）＜0}．
（1）求区间D的长度（区间（a，b）的长度定义为b-a）；
（2）记区间D的长度为g（m），试用函数的单调性定义证明g（m）在（0，2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增；
（3）给定常数t∈（0，2），当2-t≤m≤2+t时，求区间D的长度的最大值．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）解不等式mx²-（4+m²）x＜0，m＜0，即可得出0＜x＜

m2+4

m

，求出b-a=

m2+4

m

，
（2）区间D的长度为g（m）=

m2+4

m

=m+

4

m

，运用单调性的定义证明．
（3）判断当m=2时，g（m）=4，此时为最小值
当m=t-2时，g（2-t）=2-t+

4

2-t

，当m=t+2时，g（t+2）=t+2+

4

t+2

，作差g（t+2）-g（2-t）=2t+

4

t+2

-

4

2-t

=2t+

-8t

4-t2

=

-2t3

4-t2

＜0，即可得出区间D的长度的最大值为g（2-t）．

解答： 解：（1）∵函数f（x）=mx²-（4+m²）x，其中m∈R，且m＞0，区间D={x|f（x）＜0}．
∴区间D={x|f（x）＜0}．
∵mx²-（4+m²）x＜0，m＜0，
∴mx²-（4+m²）x=0，
x=0，x=

m2+4

m

，
∴0＜x＜

m2+4

m

，
b-a=

m2+4

m

，
（2）区间D的长度为g（m）=

m2+4

m

=m+

4

m

，
m₁＜m₂，g（m₁）-g（m₂））=m₁+

4

m1

-m₂-

4

m2

=（m₁-m₂）

(m1m2-4)

m1m2

，
∵m₁，m₂∈（0，2），
∴m₁-m₂＜0，0＜m₁m₂＜4，
∴m₁m₂-4＜0，
∴g（m₁）-g（m₂））＞0，
∴g（m）在（0，2）上单调递减，
∵m₁，m₂∈（2，+∞）
∴m₁m₂＞4，m₁-m₂＜0，m₁m₂-4＞0，
∴g（m₁）-g（m₂））＜0，
g（m）在（2，+∞）上单调递增；
（3）∵区间D的长度为g（m）=

m2+4

m

=m+

4

m

，给定常数t∈（0，2），当2-t≤m≤2+t时，
∴2∈（2-t，2+t），（2-t，2）单调递减，（2，2+t）单调递增，
当m=2时，g（m）=4，此时为最小值
当m=t-2时，g（2-t）=2-t+

4

2-t

，
当m=t+2时，g（t+2）=t+2+

4

t+2

，
∵g（t+2）-g（2-t）=2t+

4

t+2

-

4

2-t

=2t+

-8t

4-t2

=

-2t3

4-t2

＜0，
∴g（t+2）＜g（2-t），
区间D的长度的最大值为g（2-t）．

点评：本题考查了二次函数的性质，单调性的定义，运用不等式求解问题，属于中档题．