Question

14．已知点A（0，2），B（4，4），$\overrightarrow{OM}={t_1}\overrightarrow{OA}+{t_2}\overrightarrow{AB}$；
（1）若点M在第二或第三象限，且t₁=2，求t₂取值范围；
（2）若t₁=4cosθ，t₂=sinθ，θ∈R，求$\overrightarrow{OM}$在$\overrightarrow{AB}$方向上投影的取值范围；
（3）若t₁=a²，求当$\overrightarrow{OM}⊥\overrightarrow{AB}$，且△ABM的面积为12时，a和t₂的值．

Answer 1

分析 （1）根据平面向量的坐标表示，结合题意，即可求出t₂的取值范围；
（2）根据向量投影的定义，利用三角函数的性质求出$\overrightarrow{OM}$在$\overrightarrow{AB}$方向上投影的取值范围；
（3）根据$\overrightarrow{OM}⊥\overrightarrow{AB}$，其数量积为0，结合△ABM的面积列出方程组，求出a和t₂的值．

解答 解：（1）点A（0，2），B（4，4），
$\overrightarrow{OM}={t_1}\overrightarrow{OA}+{t_2}\overrightarrow{AB}$=（4t₂，2t₁+4t₂）；
若点M在第二或第三象限，且t₁=2，
则$\left\{\begin{array}{l}{{4t}_{2}＜0}\\{{2×2+4t}_{2}≠0}\end{array}\right.$，
解得t₂＜0，且t₂≠-1；
（2）$\overrightarrow{AB}=（{4，4}）$，$\overrightarrow{OM}=（{4{t_2}，2{t_1}+4{t_2}}）$，
∴$\overrightarrow{OM}$在$\overrightarrow{AB}$方向上投影为
|$\overrightarrow{OM}$|•cos＜$\overrightarrow{OM}$，$\overrightarrow{AB}$＞=$\frac{\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}$
=$\frac{3{2t}_{2}+{8t}_{1}}{4\sqrt{2}}$
=4$\sqrt{2}$t₂+$\sqrt{2}$t₁
=4$\sqrt{2}$（sinθ+cosθ）
=8sin（θ+$\frac{π}{4}$）；
∴$\overrightarrow{OM}$在$\overrightarrow{AB}$方向上投影的范围为[-8，8]；
（3）$\overrightarrow{OM}=（{4{t_2}，2{t_1}+4{t_2}}）$，$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{AB}=32{t_2}+8{t_1}=0$，
且${t_1}={a^2}$，
∴${t_2}=-\frac{1}{4}{a^2}$，$\overrightarrow{OM}=（{-{a^2}，{a^2}}）$；
∴点M到直线AB：x-y+2=0的距离为：
$d=\frac{{|{-{a^2}-{a^2}+2}|}}{{\sqrt{2}}}=\sqrt{2}|{{a^2}-1}|$；
∴${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}|{AB}|•d=\frac{1}{2}×4\sqrt{2}×\sqrt{2}|{{a^2}-1}|=12$，
解得a=±2，t₂=-1．

点评 本题考查了平面向量的坐标表示，向量投影以及数量积的运算问题，也考查了三角形面积公式的应用问题，是综合题．