Question

已知函数f（x）=lnx+ax²-3x．
（Ⅰ）若f′（2）=1.5，求函数f（x）的极值点．
（Ⅱ）若函数f（x）在[0.5，2]上是减函数，求a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数研究函数的极值

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）求函数f（x）的极值点，实质是判断函数的单调性，注意函数的定义域，利用导数问题得以解决．
（2）求参数的取值范围，要进行分类讨论，不重不漏的原则．

解答： 解：（I）∵f（x）=lnx+ax²-3x，（x＞0）
∴f′(x)=

1

x

+2ax -3，
∴f′(2)=

1

2

+4a-3，
又f′（2）=1.5，
∴a=1，
∴f（x）=lnx+x²-3x，
∴f′(x)=

1

x

+2x -3=

2x2-3x+1

x

，
令f′（x）=0，解得，x=1，或x=

1

2

，
当f′（x）＞0时，即x∈(1，+∞)或(0，

1

2

)时，函数f（x）单调递增；
当f′（x）＜0时x∈(

1

2

，1)函数f（x）单调递减．
∴函函数f（x）的极值点是：x=1，或x=

1

2

；
（II）原函数的定义域为（0，+∞），
∴f′(x)=

2ax2-3x+1

x

．
∵函数f（x）在[0.5，2]上是减函数．
∴f′（x）≤0在[0.5，2]恒成立．
①当a＞0时，设g（x）=2ax²-3x+1，（x∈[0.5，2]）
由题意得：对称轴x=

3

4a

，
∴

1

2

≤

3

4

a≤2⇒

2

3

≤a≤

8

3

时，满足g（x）≤0．
②当a＜0时，只需要

3

4

a≤

1

2

即可，也就是说a≤

2

3

，
∴a＜0时满足g（x）≤0．
③a=0时，函数g（x）=-3x+1单调递减符合题意．
综上所述：a的取值范围为(-∞，0]∪[

2

3

，

8

3

]．

点评：本题是导数与函数的单调性的关系，再某个区间上有增函数又有减函数才有极值点，求参数的范围，利用分类讨论的思想，不重不漏．