Question

已知数列{log₂（a_n-1）}n∈N^*）为等差数列，且a₁=3，a₃=9．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）证明++…+＜1．

Answer 1

【答案】分析：（1）设等差数列{log₂（a_n-1）}的公差为d．根据a₁和a₃的值求得d，进而根据等差数列的通项公式求得数列{log₂（a_n-1）}的通项公式，进而求得a_n．
（2）把（1）中求得的a_n代入++…+中，进而根据等比数列的求和公式求得++…+=1-原式得证．
解答：（I）解：设等差数列{log₂（a_n-1）}的公差为d．
由a₁=3，a₃=9得2（log₂2+d）=log₂2+log₂8，即d=1．
所以log₂（a_n-1）=1+（n-1）×1=n，即a_n=2ⁿ+1．
（II）证明：因为==，
所以++…+=+++…+==1-＜1，
即得证．
点评：本题主要考查了等差数列的通项公式．属基础题．