Question

已知数列{log2(an-1)}(n∈N+)为等差数列，且a₁=3，a₂=5，则

1

a2-a1

+

1

a3-a2

+…+

1

an+1-an

=（　　）

• A．2-(

  1

  2

  )n
• B．

  3

  2

  -(

  1

  2

  )n
• C．1-(

  1

  2

  )n
• D．

  1

  2

  -(

  1

  2

  )n

Answer 1

分析：令b_n=log₂（a_n-1），（n∈N⁺），依题意可求得b_n=n，于是可得a_n=2ⁿ+1，从而可求得

1

an+1-an

=

1

2n

，利用等比数列的求和公式即可得到答案．

解答：解：令b_n=log₂（a_n-1），（n∈N⁺），依题意{b_n}为等差数列，
∵a₁=3，a₂=5，
∴b₁=log₂（3-1）=1，b₂=log₂（5-1）=2，
∵{b_n}为等差数列，设其公差为d，则d=1，
∴b_n=n，
∴a_n=2ⁿ+1，
∴

1

an+1-an

=

1

(2n+1+1)-(2n+1)

=

1

2n

，
显然{

1

2n

}是首项为

1

2

，公比为

1

2

的等比数列，
∴

1

a2-a1

+

1

a3-a2

+

1

a4-a3

+…+

1

an+1-an

=

1

2

+

1

22

+

1

23

+…+

1

2n

=

1 2 (1-( 1 2 )n)

1- 1 2

=1-(

1

2

)n．
故选C．

点评：本题考查数列的求和，根据题意求得a_n=2ⁿ+1是关键，考查等比数列的求和公式的应用，属于中档题．