Question

已知数列{log₂（a_n-1）}（n∈N^*）为等差数列，且a₁=3，a₃=9．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）证明

1

a2-a1

+

1

a3-a2

+…+

1

an+1-an

＜1．

Answer 1

分析：（1）设等差数列{log₂（a_n-1）}的公差为d．根据a₁和a₃的值求得d，进而根据等差数列的通项公式求得数列{log₂（a_n-1）}的通项公式，进而求得a_n．
（2）把（1）中求得的a_n代入

1

a2-a1

+

1

a3-a2

+…+

1

an+1-an

中，进而根据等比数列的求和公式求得

1

a2-a1

+

1

a3-a2

+…+

1

an+1-an

=1-

1

2n

原式得证．

解答：（I）解：设等差数列{log₂（a_n-1）}的公差为d．
由a₁=3，a₃=9得2（log₂2+d）=log₂2+log₂8，即d=1．
所以log₂（a_n-1）=1+（n-1）×1=n，即a_n=2ⁿ+1．
（II）证明：因为

1

an+1-an

=

1

2n+1-2n

=

1

2n

，
所以

1

a2-a1

+

1

a3-a2

+…+

1

an+1-an

=

1

21

+

1

22

+

1

23

+…+

1

2n

=

1 2  - 1 2n × 1 2

1- 1 2

=1-

1

2n

＜1，
即得证．

点评：本题主要考查了等差数列的通项公式．属基础题．