Question

【题目】已知等差数列的前项和为，且成等比数列，且.

（1）求数列的通项公式；

（2）求数列的前项和；

（3）若，为数列的前项和.若对于任意的，都有恒成立，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）

【解析】

（1）设等差数列的公差为，利用等差数列的通项公式以及前项和的公式求出，代入通项公式即可.

（2）判断出数列从第六项为负，分类讨论：当时或当时，利用等差数列前项和公式即可求解.

（3）利用裂项求和法求出数列的前项和，恒成立，转化为，利用单调性求出的最大值即可.

（1）令等差数列的公差为.

由于成等比数列，所以，

又，所以，所以.

（2）记数列的前项和为，令，得，

当时，，

当时，

所以

（3）由于，

所以，

由于对于任意的，都有恒成立，所以，

当时，单调递增，所以当时，，

当时，，所以

所以，所以的取值范围为.