Question

12．平面上到点（1，0）的距离与到直线1：x═-1距离相等的点的轨迹方程为为C，O坐标原点，P是C上一点，若△OPF是等腰三角形，则|OP|=$\frac{3}{2}$或1．

Answer 1

分析 确定点的轨迹为抛物线，求出抛物线的焦点坐标，然后根据△OPF是等腰三角形，则OP=OF或OP=PF，然后分别进行求解即可．

解答 解：∵平面上到点（1，0）的距离与到直线1：x=-1距离相等，
∴点的轨迹为抛物线，抛物线C：y²=4x，焦点坐标为（1，0），
∵△OPF是等腰三角形，
∴OP=OF或OP=PF或OF=PF（舍去因抛物线上点不可能满足），
当OP=OF时，|PO|=|OF|=1，
当OP=PF时，点P在OF的垂直平分线上，则点P的横坐标为$\frac{1}{2}$，
点P在抛物线上，则纵坐标为±$\sqrt{2}$，
∴|PO|=$\sqrt{\frac{1}{4}+2}$=$\frac{3}{2}$，
综上所述：|PO|=$\frac{3}{2}$或1．
故答案为：$\frac{3}{2}$或1．

点评 本题主要考查了抛物线的简单性质，以及分类讨论的数学思想，同时考查了两点的距离公式的应用，属于中档题．