Question

在等比数列{a_n}中，a₁•a₂•a₃=27，a₂+a₄=30．
求：（1）a₁和公比q；
（2）若{a_n}各项均为正数，求数列{n•a_n}的前n项和．

Answer 1

分析：（1）由已知，结合等比数列的性质可求a₂，a₄，由q2=

a4

a2

可求q，进而可求a₁
（2）由a_n＞0，结合（1）可得，nan=n•3n-1，Sn=1•30+2•31+3•32+…+n•3n-1，利用错位相减可求和

解答：解：（1）由等比数列的性质可得，a₁•a₂•a₃=a23=27，
∴a₂=3
∵a₂+a₄=30
∴a₄=27
∴q2=

a4

a2

=9
∴q=±3
∴

a1=1 q=3

或

a1=-1 q=-3

（2）由a_n＞0可得

a1=1 q=3

，an=3n-1，nan=n•3n-1
∴Sn=1•30+2•31+3•32+…+n•3n-1
∴3S_n=1•3+2•3²+…+（n-1）•3^n-1+n•3ⁿ
两式相减可得，-2S_n=3⁰+3¹+…+3^n-1-n•3ⁿ=

1-3n

1-3

-n•3n=

3n-1

2

-n•3n
∴Sn=

(2n-1)•3n+1

4

点评：本题主要考查了等比数列的性质及通项公式的应用，错位相减求解数列和是数列求和的重点与难点，要注意掌握