Question

已知动圆过定点且与直线相切，圆心的轨迹为曲线

   （I）求轨迹的方程；

   （Ⅱ）①过定点作互相垂直的直线分别交轨迹于点和点，求四边形面积的最小值；

         ②定点，动点是轨迹上的三个点，且满足试问所在的直线是否过定点，若是，求出该定点的坐标；否则说明理由

 

Answer 1

解：（1）由题意：为点M的轨迹方程。

   （2）由题易知直线l1，l2的斜率都存在，且不为0，

   不妨设，MN方程为y=k(x-2)与y2=8x联立得：

    k2x2-(4k2+8)x+4k2=0，设

       ∴

由抛物线定义知：|MN|=|MF|+|NF|

       同理RQ的方程为

       ∴

       当且仅当k2=1，k=±1时取“=”，故四边形MRNQ的面积的最小值为128.

   （3）设

       ········（※）

      

       则，与（※）比较可知，直线AB过定点（1，-4）

      

法2：

       设联立得：由△＞0得2m2＞b。

       设y1+y2=8m，y1·y2=8b，又由kPA·kPB=8

       即

       ∴4m+b+1=0

       ∴lAB：my=x-4m-1即m(y+4)=x-1，∴直线AB过定点（1，-4）