Question

关于函数有下列命题：
①由f（x₁）=f（x₂）=0可得x₁-x₂必是π的整数倍；
②f（x）的表达式可改写为；
③f（x）的图象关于点对称；
④f（x）的图象关于直线对称；
⑤f（x）在区间上是增函数；其中正确的是________．（请将所有正确命题的序号都填上）

Answer 1

②③⑤
分析：通过举反例，当x₁=-，x₂=时，f（x₁）=f（x₂）=0，说明①不正确．
由诱导公式可得②是正确的．
由x=- 时，f（x）=0，故点是f（x）与x轴的交点，故③正确．
由 当 时，=0，不是最值可得④是错误的．
由 2kπ-≤≤2kπ+ 得，解得x的范围即是增区间，可得⑤正确．
解答：∵的周期为π，
当x₁=-，x₂=时，f（x₁）=f（x₂）=0，x₁-x₂ =≠kπ，k∈z，故①是错误的．
∵由诱导公式可得=4cos（-2x- ）=4cos（-2x）=4cos（2x-），故 ②正确．
∵当 x=- 时，f（x）=0，故点是f（x）与x轴的交点，故是对称点，故③正确．
∵当 时，=0，不是f（x）的最值，故④是错误的．
由 2kπ-≤≤2kπ+ 得，kπ-≤x≤kπ+，k∈z，故⑤正确．
综上，②③⑤正确，①④不正确，
答案为 ②③⑤．
点评：本题考查正弦函数的对称性、单调性、周期性，诱导公式的应用，熟记正弦函数的性质是解题的关键．