Question

9．如图所示，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点E、F分别是棱DD₁、CC₁的中点．
（I）求证：直线B₁F∥平面A₁BE；
（Ⅱ）求直线BE和平面ABB₁A₁所成的角的正弦值．

Answer 1

分析 （I）连接EF，则四边形EFB₁ A₁为平行四边形，从而B₁F∥A₁E，由此能证明直线B₁F∥平面A₁BE．
（II）取AA₁的中点M，连接EM，BM，推导出∠EBM即为直线BE与平面ABB₁A₁所成的角，由此能求出直线BE和平面ABB₁A₁所成的角的正弦值．

解答 证明：（I）如图1，连接EF，由点E、F分别是棱DD₁、CC₁的中点，
则在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，EF∥C₁D₁，且EF=C₁D₁，A₁B₁∥C₁D₁，且A₁B₁=C₁D₁，
所以EF∥A₁B₁，且EF=A₁B₁，
所以四边形EFB₁A₁为平行四边形，所以B₁F∥A₁E，
而A₁E⊆平面A₁BE，B₁F?平面平面A₁BE，
所以直线B₁F∥平面A₁BE．…（5分）
解：（II）如图2，取AA₁的中点M，连接EM，BM，
因为E是DD₁的中点，四边形ADD₁A₁为正方形，所以EM∥AD，
又在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD⊥平面ABB₁A₁，
所以EM⊥ABB₁A₁，从而BM为直线BE在平面ABB₁A₁上的射影，
所以∠EBM即为直线BE与平面ABB₁A₁所成的角．
设正方体的棱长为2，则EM=AD=2，BE=$\sqrt{{2}^{2}+{2}^{2}+{1}^{2}}$=3．
于是，在Rt△BEM中，sin∠EBM=$\frac{EM}{BE}$=$\frac{2}{3}$．
即直线BE和平面ABB₁A₁所成的角的正弦值为$\frac{2}{3}$．…（12分）

点评 本题考查线面平行的证明，考查线面角的正弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．